弹性矩阵D的表达式，矩阵表达形式
弹性矩阵D的表达式，矩阵表达形式
弹性矩阵D是描述材料弹性性质的一个重要参量，它可以用来计算应力和应变之间的关系，因此对于研究材料的力学性质、计算材料的弹性应力等方面都有着重要的作用。此文将介绍弹性矩阵D的表达式及其推导方法。
1.弹性矩阵D的定义
在微观层面，材料的弹性性质可以由单晶体的弹性常数描述。而在宏观层面下，晶体材料中的晶粒取向、形态、分布等因素对于材料宏观力学性质有着重要影响。因此，需要用宏观的参量来描述材料的弹性性质，其中最基本的参量是弹性常数矩阵C。这个矩阵描述材料在不同方向受到应力的反应，即应变。
弹性矩阵D是弹性常数矩阵C的逆矩阵，即D=C^-1。可以认为弹性矩阵D是描述材料弹性性质的一个完整、简明的表达式。下面将根据弹性矩阵D的定义来推导它的表达式。
2.推导过程
我们先定义一个正方体，在正方体的某个平面内施加一个面积为A、法向量为n的应力σ。则这个应力产生的应变ε可以用胡克定律描述：
σ=Cε
其中，C为弹性常数矩阵，ε表示应变。如果将胡克定律的这个表达式转化为matricial的形式，则可得：
σi=Cijεj
这个矩阵表达式同时包括了9个方程式，其中i、j均代表三个空间方向。
根据定义，弹性矩阵D就是弹性常数矩阵C的逆矩阵，即D=C^-1。因此，我们可以通过求解这个矩阵的逆矩阵得到弹性矩阵D的表达式。
接下来，我们将尝试解出这个矩阵的逆矩阵。运用因式分解法，可以证明存在一个满足以下条件的矩阵B：
BC=CB=I
其中，I为单位矩阵。则有：
C^-1=BCB
这个式子表明，若我们能够找到满足上述条件的B矩阵，则弹性矩阵D的表达式就可以直接得到了。我们将B矩阵的元素表示为Bij，则有：
Dij=(B^-1)ij
其中，D为弹性矩阵。
现在，我们需要找到一个满足BC=CB=I的B矩阵。通过简单的数学推导，可以得出：
B11=(C22C33-C23C32)/det(C)
B12=(C13C32-C12C33)/det(C)
B13=(C12C23-C13C22)/det(C)
B21=(C23C31-C21C33)/det(C)
B22=(C11C33-C13C31)/det(C)
B23=(C13C21-C11C23)/det(C)
B31=(C21C32-C22C31)/det(C)
B32=(C12C31-C11C32)/det(C)
B33=(C11C22-C12C21)/det(C)
其中，det(C)为弹性常数矩阵C的行列式。
3.总结
弹性矩阵D是描述材料弹性性质的一个重要参量，它可以用来计算应力和应变之间的关系。本文介绍了弹性矩阵D的定义、推导过程及表达式。了解弹性矩阵D的性质及其应用，对于研究材料的弹性力学性质，计算材料的弹性应力等方面都有着重要的作用。
